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根式型函数最值的几何求法

2022-04-21 地市 54 ℃ 0 评论
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根式型和分式型函数是高中数学两类重要的函数类型,本期内容提供一种根式型函数最值(值域)的求法,本次内容基本上涵盖了高中阶段所有的根式型函数值域问题,所使用的几何法不属于高一阶段内容,高一学生仅供参考。

函数只含有一个根式时,解题方法最先考虑单调性,若单调性可直接判断出来即可直接求出值域,另外也可使用换元法,将函数转化为二次函数求最值问题,也可利用几何法将值域看做两函数图像相交时截距的范围,如下:

注意解题时一定要正确判断出m,n的取值范围。

题目转化为直线与不完整抛物线相交时直线n=m-y截距的取值范围,和线性规划相同,可知当相切时截距-y取得最大值,无最小值,联立求判别式即可,这种较为简单的根式函数还是建议选用单调性或换元法,不建议使用几何法。

双根式一次函数求值域时还是首先判断能否直接判断出单调性,若无法判断单调性时的方法有三种,第一采用三角换元法,第二采用柯西不等式(但是柯西不等式并不能求出值域,只能求出一侧的最值),第三采用几何法,几何法做法与上述相似,只是曲线函数的类型不同。

做法依旧是直线与曲线存在交点时截距的取值范围,本题目因为根式内部单调性相反,所以不可判断单调性,但是此类函数可使用柯西不等式直接求出最大值,过程如下:

但是最小值无能为力了,若采用三角换元法,过程比几何法更为直接:

注意重点是判断出角度的取值范围,因为题目中m,n均为正数,可求出角度取值,进而将根式函数转化为标准三角函数求值域问题,这也是我最喜欢的做法。

这种一个根式型且根式内部为二次的函数就不可使用单调性求值域了,可采用几何法,如下:

一定要先判断出m,n的取值范围才可作出图像,n的取值是根式函数的值域,m的范围需要先根据n定义域来求值域

作图之后y的取值即为直线截距的取值范围,根据直线与曲线有交点时即可求出对应的截距范围。

双根式且内部均为二次函数类型的,通常情况下根式内部不会直接化简成上面情况,需要自己化简,这种形式的函数求值域可转化为一个有轨迹的动点到两个定点距离之和的取值范围,若题目中给出的不是平方的形式,可通过待定系数法化简成所需样式,但是这种题目有局限性,注意上述式子中的系数要求。

注意上面是怎么化简的,例如10x²+28x+26可设为(ax+b)²+(cx+d)²的形式,展开与系数对比,令a=1即可求出剩余系数的值,接下来转化为距离之和即可。

除了上述四种情况之外,还有分式型根式函数形式,这种形式更多与分式型有关系,在此不谈,关于根式型函数的值域问题,在高考中考查的并不多,难度也不算大,需要注意这种将函数几何化的思想,另外需要注意第二种类型中柯西不等式和三角换元法的使用技巧。

本文来源:http://www.rz133.com/dishi/11806.html

Tags:求法根式几何

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