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圆锥曲线中的双切线问题整理

2022-04-21 访谈 43 ℃ 0 评论
日志一生名校网

最近有人问到了圆锥曲线中的双切线问题,其实在之前的推送中有了部分双切线问题的处理方法,例如之前给出过有关抛物线的双切线问题和圆的双切线问题,今天做一个汇总。

双切线问题是指从圆锥曲线外一点引两条切线,探讨的是切线斜率或切点弦有关的问题,在设切线方程上有两种思路:

第一种,直接设切线方程,通过切线与圆锥曲线联立之后利用判别式为零可得到特定和与差的关系,但是这里需要注意区分斜率是否存在。

第二种,设切点,利用导数求得在某点处的斜率,进而求得切线方程,由于利用到了求导,因此该方法多用于焦点在y轴的抛物线中,圆或椭圆由于用到了复合函数求导,在解答题步骤中不可直接使用。

若用第二种方法统一写出圆锥曲线上某一点处的切线方程和双切线切点弦的方程,步骤如下:

以上证明过程并不需要记,甚至说结论也没必要记,只需要领会切点弦中的方程思想即可,这在解决此类问题中尤为关键。

一、与抛物线有关的双切线和切点弦问题

这个问题在以往的推送中重点给出过证明和例题,希望同学们能把抛物线中与切线有关的结论和证明过程熟练掌握,这也是各省市模考和高考中最常见的题型,在此不再重复了,可以参考以下连接:思维训练37.抛物线中的切线问题

二、与圆有关的切点弦问题

单纯的圆并不是圆锥曲线大题中常见的题目,在以往的推送中给出过求圆切点弦方程的方法,共两种思路,第一种是利用垂直求得切线斜率,再根据方程思想求出切线方程和切点弦方程,具体可参考链接:圆的切点弦方程的求法

三、与椭圆,双曲线有关的切线和切点弦问题

这种题目可直接设出切线方程,切线方程与椭圆联立后即可得到有关x或y的二次方程形式,若两条切线斜率存在特定关系,也可转化为关于k的二次方程形式,具体问题具体分析,但是一般的步骤是1.设切线 2.切线与曲线联立 3.判别式为零 4.将判别式为零的式子转化为关于k的二次形式,求出k1+k2,k1k2, 5.需要什么带入即可

注意两点,第一切线与曲线联立写出判别式时可利用公式直接写出,无需通分整理化简,具体可参考:思维训练17.圆锥曲线相对简化计算中常用的计算结论

第二,若需要k1,k2和与积的关系,没必要再把切线和曲线联立一遍,转化成关于k的方程,可直接利用第一种判别式为零的方程直接转化。

注意上面框住的部分可以直接利用与判别式有关的式子直接写出

以上题目均为抛砖引玉,有关双切线的题目解题步骤也大致如此,最后还是需要强调一下与抛物线有关的双切线问题,这个问题小题大题均可出现,里面的结论必须牢记。

本文来源:http://www.rz133.com/fangtan/11771.html

Tags:圆锥曲线切线

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