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方程的本质, 可视化数学方程及其运算, 通过图形直观地解方程

2022-04-17 时评 51 ℃ 0 评论
日志一生名校网

在我们开始对方程本质进行相当直观的研究之前,我们需要记住,方程是一个关系式,而这个关系式可以用不止一种方式来表示。

在整篇文章中,重要的是你要忘记你以前学到的旧的惯例,因为这是一种全新的思维方式。

介绍

在学校里,我们都知道方程就像一个天平。如果你在一边加上一个数字,你需要在另一边加上相同的数字。当然,其他操作也是如此。

这意味着,一个方程,即使它只表示一个东西,也可以用不止一种方式表示。例如,让我们看一下等式a + b = c,其中a,b,c是满足这个等式的任意数。

这种关系实际上可以用三种不同的方式来表示,即:

注意,在这三种表示中,a和b都显示了一种对称关系,你可以在不改变关系本身的情况下对它们置换。

如果你在第一个方程中交换它们,表达式保持不变,因为a + b = b + a,如果你在第二个方程中交换它们,你得到第三个,反之亦然,但你没有改变它们之间的关系。

注意,如果你交换a和c,这就不成立了!

一定有一种方法可以将对称性和所有的表现形式一起展示在一个物体上,然后就会有一些关于不对称的规则。

可视化方程

我建议使用数学图表。图由节点和连接节点的边(关系)组成。

例如,你可以把微信这样的社交网络看作一个巨大的图表,其中的人是节点,友谊是边。

我们的方程图中的节点和边将分别是数字和数字之间的运算。通过这种方式,我们将所有表示封装在一个对象中。

让我给你一个新的符号,然后解释为什么它这么棒。

下面的图(三角形)表示了等式a + b = c。

首先,注意到c的边是以箭头的形式指向a和b的(仔细看)。

这显示了c和其他两个数字之间的不对称性。我们称它为加法图。

那么我们该如何解读呢?

你可以用三种方式来阅读这张图。规则是,如果你遵循两个节点(数字)之间的一条边,那么无论这个和或差对应的是什么,都等于剩下的数字。

如,在上面的三角形中。如果我们沿着有向边从c到a,那么c - a = b;如果我们沿着另一条有向边从c到b,那么c - b = a;如果沿着连接a和b的这条边,我们会得到a + b = c。

这是学生学习如何解方程的一个很好的记忆法则。

如果等式两边都包含运算呢?

下面是方程a + b = c + d的图解。

请注意,这与上面的逻辑是一致的。无论a + b是什么,它都是由中间的空节点表示的,如果我们从空节点开始跟踪这个节点到后面的数字d那么就有a + b - d = c。

我们不会就此止步。我们有另一个三角形,有着完全相同的图案,但操作不同——乘法图。

假设我们有一个这样的方程a⋅ b = c,这同样有三种表示。

让我们在下面的图中表示这些关系。

我们不需要用颜色编码这些图形,但是稍后会有帮助的,你们很快就会看到。再次注意到a和b之间的对称以及a和c,b和c之间的斜对称。

当然,同样的规则也适用于这个三角形,也就是,我们遵循一条边,它对应的计算结果等于剩下的节点。你可以在这个图中检查这个规则是否正确。

我们把它们结合起来解一个方程,这就等于用直线的y坐标求出x坐标的表达式。

解方程,写出等式

假设有以下方程,我们需要解出x:

我们将用我们的新工具一步解决这个问题!

让我们看看这个方程在图中是什么样的。

这里的逻辑是,无论ax的值是什么(由相乘三角形顶部的未标记顶点表示,如果我们将它与b相加,我们得到y)。

现在我们可以通过沿y到b的边折叠加法三角形到未知的蓝色顶点。我们得到:

我们可以通过从y-b到a的这条边直接从这个三角形中得出答案:x = (y - b) / a。

算术规则

让我们来陈述一些规律,然后用我们新的视觉语言把它们写下来。

例如,我们有结合律,即a + (b + c) = (a + b) + c。

这可以用一张图来表示。

同样,我们可以写出分配律,a ⋅ (b + c) = a ⋅b + a ⋅ c,如下:

你也可以自己找到其他的法则。

分数法则

有些东西我们还没讨论。它是这样的:

如果你把两个数字排列成不对称的关系会发生什么?

让我们看看a + b = c三角形。

例如,如果我们交换a和c,那么等式就不再成立了,但是,如果我们用-b替换b,那么三角形就会显示出正确的关系。

将上面的三角形与下面的三角形进行比较:

这个三角形的关系为:

a - -b = a + b = c

c + -b = c - b = a

这个反对称也存在于相应的乘法三角形中。回想一下,分数a/b的倒数是b/a。你只需要交换分子和分母就可以得到有理数的倒数。

假设你忘记了如何用分数除一个数,比如c/(a/b)是多少?但是你要记住ac/ bc = a/b。

这里有个技巧,ac/(bc) = a/b可以写成如下形式:

根据上面关于乘法三角形的不对称规则,这等价于:

这就是c/(a/b) = bc/a,这就是除以分数的规则(乘以它的倒数)。

这种解方程的方法我们只触及了表面,可能还有许多有趣的模式有待探索。

本文来源:http://www.rz133.com/shiping/11426.html

Tags:方程直观图形

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