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1道小学数学求阴影部分面积题, 难住大学生家长: 先算心理阴影面积

2022-04-15 小学 52 ℃ 0 评论
日志一生名校网

小学开始逐渐学习一些常见的平面几何图形,比如三角形、长方形、正方形、圆等;以及这些图形简单的几何性质,比如周长、面积等。在小学数学中,阴影部分面积是一个常考题型,本文就和大家分享一道小学求阴影部分面积的题目,难住了不少大学生家长,有家长表示:先算算我们的心理阴影面积吧!

下面我们一起看一下这道题目。

题目如上图,已知长方形的宽为4cm,求阴影部分的面积。

从图就可以看出,这道题的难度确实不小,图中涉及到了多种几何图形,而阴影的图形又不规则,确实不太好解。其实,掌握方法后这道题并不难。

我们先看一下下面这道比较简单的题目。

如上图,已知正方形的边长为4cm,求阴影部分的面积。

这道题的图形比较简单,方法也多种多样,我们来看几种比较常见的方法,从而总结出规律,帮助我们解决文章开头的那道题。

方法一:切割法

观察原图,很容易发现:连接阴影部分的对角线将阴影部分分成了如上图面积相等的两部分,只需求出一部分的面积,整体面积也就求出来了。

求上图的面积就非常简单了,只需用原面积的四分之一减去左下角三角形面积即可,即π×4²/4-4×4/2=(4π-8)cm²。

所以整个阴影部分面积为:(8π-16)cm²。

方法二:旋转法/对称法

将原图旋转或者对称变换到上图的形式,很明显两个图的阴影面积是相等的。所以原图的阴影部分面积等于上图半圆的面积减去大三角形的面积,即π×4²/2-4×8/2=(8π-16)cm²。

方法三:容斥原理

在原图中各部分标上序号,如上图。那么,阴影部分面积就等于圆面积的四分之一(扇形)减去①的面积,即②=S扇形-①;而①的面积又等于正方形面积减去扇形面积,即①=S正-S扇形,代入前式得到:②=2S扇形-S正=2π×4²/4-4×4=(8π-16)cm²。

对上面的结论进行分析,可以发现正方形的面积就是两个扇形面积减去阴影部分面积,也就是减去了两个图形重合的部分,这就是容斥原理。容斥原理是求阴影面积的重要方法。

下面再看一道稍微复杂一点的容斥原理的应用,并熟悉容斥原理的解题过程。

如上图,长方形的长为6cm,宽为4cm,求阴影部分面积。

第一步:先对各部分标号,如上图;

第二步:用标号表示出基本图形和阴影面积。本题中,S小扇形=①+②,S大扇形=②+③+④,S长方形=①+②+③,S阴影=②+④;

第三步:根据标号,找出阴影面积与基本图形面积的关系并计算结果。如本题,②+④=(①+②)+(②+③+④)-(①+②+③),即S阴影=S小扇形+S大扇形-S长方形=π×4²/4+π×6²/4-4×6=(13π-24)cm²。

回到文章开头的题目,先对各部分标号,如上图。

S小扇形=②+③+④;

S大扇形=④+⑤+⑥;

S右上三角形=①+②+⑥+⑦;

S长方形=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦;

S阴影=②+④+⑥。

所以S阴影=S小扇形+S大扇形+S右上三角形-S长方形=π×2²/2+π×4²/2+4×8/2-4×8=(10π-16)cm²。

这道题目看似难度很大,但是方法实际上很简单,容斥原理轻松搞定。

本文来源:http://www.rz133.com/xiaoxue/11206.html

Tags:阴影面积小学数学

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